Question

10．已知直線l₁：y=x-1與圓C：（x+a）²+y²=a²（a＞0）相交于A、B兩點，|AB|=2，直線l₂∥l₁，直線l₂與圓C相交于D、E兩點．
（I）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）若△CDE為直角三角形，求直線l₂的方程；
（Ⅲ）記直線l₁與x軸的交點為F（如圖），若∠CFD=∠CFE，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析 （I）求出圓心C到直線l₁的距離，利用勾股定理建立方程，求出圓心坐標，即可求圓C的標準方程；
（Ⅱ）依題意可設直線l₂的方程為x-y+m=0（m≠-1），而由點到直線的距離公式得：${d_2}=\frac{{|{-3+m}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（{-1}）}^2}}}}=\frac{{|{m-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$，即可求直線l₂的方程；
（Ⅲ）由∠CFD=∠CFE知：k_FD+k_FE=0即有$\frac{y_1}{{{x_2}-1}}+\frac{y_2}{{{x_2}-1}}=0$，利用韋達定理，即可求直線l₂的方程．

解答 解：（I）可知圓C的圓心坐標為（-a，0），半徑為r=a
圓心C到直線l₁的距離為${d_1}=\frac{{|{-a-1}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（{-1}）}^2}}}}=\frac{{|{a+1}|}}{{\sqrt{2}}}$
由垂徑定理知：${r^2}-{d_1}^2={（{\frac{1}{2}|{AB}|}）^2}$
即有：${a^2}-\frac{{{{（{a+1}）}^2}}}{2}=1$（a＞0）解得：a=3
故所求圓C的標準方程為（x+3）²+y²=9
（II）易知：若△CDE為直角三角形，則∠DCE=90°
又CD=CE=r=3可知△CDE為等腰直角三角形
由垂徑定理：圓心C到直線l₂的距離${d_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}r=\frac{3}{2}\sqrt{2}$
依題意可設直線l₂的方程為x-y+m=0（m≠-1）
而由點到直線的距離公式得：${d_2}=\frac{{|{-3+m}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（{-1}）}^2}}}}=\frac{{|{m-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$
解得：m=0或m=6故所求直線l₂的方程為x-y=0或x-y+6=0
（III）可知直線l₁與x軸交點F的坐標為（1，0），依題意可設直線l₂的方程為y=x+t
將其與圓的標準方程（x+3）²+y²=9聯(lián)立整理可得：2x²+（2t+6）x+t²=0
設D、E兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）由韋達定理可得：${x_1}+{x_2}=-\frac{2t+6}{2}=-t-3$，${x_1}•{x_2}=\frac{t^2}{2}$
由∠CFD=∠CFE知：k_FD+k_FE=0即有$\frac{y_1}{{{x_2}-1}}+\frac{y_2}{{{x_2}-1}}=0$，
得（x₂-1）y₁+（x₁-1）y₂=（x₂-1）（x₁+t）+（x₁-1）（x₂+t）=2x₁x₂+（t-1）（x₁+x₂）-2t
于是有$2•\frac{t^2}{2}+（{t-1}）（{-t-3}）-2t=0$得$t=\frac{3}{4}$
故所求直線l₂的方程為$y=x+\frac{3}{4}$，即4x-4y+3=0．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查韋達定理的運用，難度大．