Question

定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=3f（x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x²-2x
（1）若x∈[-4，-2]時(shí)，求f（x）的解析式；
（2）若x∈[-4，-2]時(shí)，f（x）≥恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)x∈[-4，-2]，則x+4∈[0，2]，
∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x²-2x
∴f（x+4）=（x+4）²-2（x+4）=x²+6x+8
又∵f（x+2）=3f（x）
∴f（x+4）=3f（x+2）=9f（x）=x²+6x+8
∴
（2）∵x∈[-4，-2]時(shí)，=
當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）_min=f（-3）=-
則由f（x）≥恒成立，可得-
整理可得，
∴-1≤t＜0或t≥3
分析：（1）先設(shè)x∈[-4，-2]，則x+4∈[0，2]，結(jié)合已知當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x²-2x可求f（x+4），由f（x+4）=3f（x+2）=9f（x），代入可求f（x）
（2）由x∈[-4，-2]時(shí)，=，結(jié)合而成函數(shù)的性質(zhì)可求f（x）的最小值，而由f（x）≥恒成立，可得f（x）_min，解不等式可求t的范圍
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用已知抽象函數(shù)的關(guān)系求解函數(shù)的解系式，解題的關(guān)鍵是由已知推出f（x+4）=9f（x），而函數(shù)的恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的求解，屬于中檔試題