已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-lnx．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若g(x)=-
2
3
x3+x2，證明當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象的上方．
（I）∵f(x)=
1
2
x2-lnx的定義域?yàn)?0，+∞)，
又f(x)可得：f′(x)=x-
1
x
=
x2-1
x

令f'（x）=0，則x=1
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：
x （0，1） 1 （1，+∞）
f'（x） - 0 +
f（x） 遞減 極小值 遞增
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）
（II）令h(x)=f(x)-g(x)=
2
3
x3-
1
2
x2-lnx
則h′(x)=2x2-x-
1
x
=
2x3-x2-1
x
=
(x-1)(2x2+x+1)
x

∵x＞1
∴h'（x）＞0
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增
又h(1)=
1
6
＞0
∴f(x)＞g(x)

當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個(gè)函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時(shí)滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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