Question

數(shù)列{a_n}中a₁=3，已知點（a_n，a_n+1）在直線y=x+2上，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_n•3ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點（a_n，a_n+1）代入直線y=x+2中可知數(shù)列{a_n}是以3為首項，以2為公差的等差數(shù)，進而利用等差數(shù)列的通項公式求得答案．
（2）把（1）中求得a_n代入b_n=a_n•3ⁿ，利用錯位相減法求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．
解答：解：（1）∵點（a_n，a_n+1）在直線y=x+2上．
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項，以2為公差的等差數(shù)，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
（2）∵b_n=a_n•3ⁿ，
∴b_n=（2n+1）•3ⁿ∴T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ①
∴3T_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹②
由①-②得-2T_n=3×3+2（3²+3³++3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
==-2n•3ⁿ⁺¹
∴T_n=n•3ⁿ⁺¹．
點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式．當數(shù)列由等比和等差數(shù)列構(gòu)成的時候，常可用錯位相減法求和．