Question

已知函數(shù)f(x)=-x+ln

1-x

1+x

（1）求函數(shù)的定義域，并求f(

1

2010

)+f(-

1

2010

)的值
（2）若-1＜a＜1，當(dāng)x∈[-a，a]時(shí)，f（x）是否存在最小值，若存在，求出最小值； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的原則，我們可以列出讓函數(shù)解析式有意義的不等式，解不等式可求出函數(shù)的定義域，分析出函數(shù)奇偶性，根據(jù)奇偶性可以得到f(

1

2010

)+f(-

1

2010

)的值
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可判斷出函數(shù)在[-1，1]上的單調(diào)性，進(jìn)而可得x∈[-a，a]時(shí)，f（x）存在最小值f（a），代入計(jì)算即可得到答案．

解答：解：（1）由

1-x

1+x

＞0得-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的定義域是（-1，1）（3分）
∵f(-x)=x+ln

1+x

1-x

=x-ln

1-x

1+x

=-f(x)，
∴f（x）是奇函數(shù)
∴f(

1

2010

)+f(-

1

2010

)=0（3分）
（2）∵f′(x)=-1-

2

1-x2

=

x2-3

1-x2

＜0對(duì)-1＜x＜1恒成立
∴f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)（5分）
∴f(x)min=f(a)=-a+ln

1+a

1-a

（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)定義域及其求法，函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)的值，是對(duì)函數(shù)三要素和性質(zhì)比較綜合的考查，掌握函數(shù)性質(zhì)的定義及判斷方法是解答關(guān)鍵．