Question

已知函數(shù)f（x）=cosx•sin（

5π

6

-x）．
（Ⅰ）求f（

π

3

）的值；
（Ⅱ）求使4f（x）＜1成立的x的取值集合．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù) f（x）的解析式，直接求得f（

π

3

）的值．
（Ⅱ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=

1

4

+

1

2

cos（2x-

π

3

），要解的不等式即

1

2

cos（2x-

π

3

）＜0，令2kπ+

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，即為所求．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cosx•sin（

5π

6

-x），∴f（

π

3

）=cos

π

3

sin

π

2

=

1

2

×1=

1

2

．
（Ⅱ）∵f（x）=cosx•sin（

5π

6

-x）=cosx（

1

2

cosx+

3

2

sinx）
=

1

2

•

1+cos2x

2

+

3

4

sin2x=

1

4

+

1

2

cos（2x-

π

3

），
∴4f（x）＜1即

1

2

cos（2x-

π

3

）＜0，∴2kπ+

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+

3π

2

，k∈z．
解得 kπ+

5π

12

＜x＜kπ+

11π

12

，
∴使4f（x）＜1成立的x的取值集合為 {x|kπ+

5π

12

＜x＜kπ+

11π

12

，k∈z}．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．