Question

【題目】在邊長(zhǎng)是2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，A1C的中點(diǎn)．應(yīng)用空間向量方法求解下列問(wèn)題．

（1）求EF的長(zhǎng)
（2）證明：EF∥平面AA1D1D；
（3）證明：EF⊥平面A1CD．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A1（2，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），

∵E，F(xiàn)分別為AB，A1C的中點(diǎn)，∴E（2，1，0），F(xiàn)（1，1，1）， =（﹣1，0，1），

∴| |= =

（2）證明：∵ =（﹣2，0，2）=2 ，∴EF∥AD1，

又AD1平面AA1D1D，EF平面AA1D1D，

∴EF∥平面AA1D1D

（3）證明： =（0，﹣2，0）， =（﹣2，0，﹣2），

∵ =0， =0，∴EF⊥CD，EF⊥A1D，又CD∩A1D=D，

∴EF⊥平面A1CD

【解析】（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出向量 的坐標(biāo)表示，代入長(zhǎng)度公式求解；（2）求出 的坐標(biāo)表示，關(guān)鍵坐標(biāo)關(guān)系判斷EF∥AD1 ， 再利用線面平行的判定定理證明；（3）利用 =0， =0，可證直線EF垂直于CD、A1D，再利用線面垂直的判定定理證明．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．