Question

已知冪函數(shù)f（x）=（-2m²+m+2）x^m+1為偶函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x）-2（a-1）x+1在區(qū)間（2，3）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)y=f（x）-2（a-1）x+1在區(qū)間（2，3）上為單調(diào)函數(shù)，利用二次函數(shù)對稱軸和區(qū)間之間的關(guān)系即可，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）為冪函數(shù)知-2m²+m+2=1，
即2m²-m-1=0，
得m=1或m=-

1

2

，
當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=x²，符合題意；
當(dāng)m=-

1

2

時(shí)，f（x）=x

1

2

，為非奇非偶函數(shù)，不合題意，舍去．
∴f（x）=x²．
（2）由（1）得y=f（x）-2（a-1）x+1=x²-2（a-1）x+1，
即函數(shù)的對稱軸為x=a-1，
由題意知函數(shù)在（2，3）上為單調(diào)函數(shù)，
∴對稱軸a-1≤2或a-1≥3，
即a≤3或a≥4．

點(diǎn)評：本題主要考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸之間的關(guān)系，要求熟練掌握冪函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．