Question

已知二次函數(shù)f（x）的最小值為-1，且f（1）=0，f（3）=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求y=f（x）在[-1，4]上的單調(diào)區(qū)間與值域．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）判斷對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系，明確區(qū)間的單調(diào)性，求最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）為二次函數(shù)，f（1）=f（3）=0，
∴對(duì)稱(chēng)軸為x=2                           
∵二次函數(shù)f（x）的最小值為-1
∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為：f（x）=a（x-2）²-1，a＞0…（1分）
∵f（1）=0，
∴a-1=0      即 a=1                  …（2分）
∴f（x）=（x-2）²-1=x²-4x+3
故a=1，b=-4，c=3                                   …（4分）
（Ⅱ）由（1）可得，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=2，并且a＞0，
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為：[-1，2]，單調(diào)增區(qū)間為：[2，4]…（8分）
∴f（x）在x=2處取得最小值為-1…（9分）
而f（x）在x=-1處取得最大值為8                       …（10分）
故f（x）在[-1，4]上的值域?yàn)椋篬-1，8]…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法以及閉區(qū)間的最值求法；明確對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系，確定區(qū)間的單調(diào)性是解得的關(guān)鍵．