Question

【題目】已知 .
（1）若函數(shù) 的圖象在點 處的切線平行于直線 ，求 的值；
（2）討論函數(shù) 在定義域上的單調(diào)性；
（3）若函數(shù) 在 上的最小值為 ，求 的值.

Answer 1

【答案】
（1）解:

由題意可知 ，故

（2）解:

當 時，因為 ， ，故 在 為增函數(shù)；

當 時，由 ；由 ，

所以增區(qū)間為 ，減區(qū)間為 ，

綜上所述，當 時， 在 為增函數(shù)；當 時， 的減區(qū)間為 ，增區(qū)間為 ．

（3）解: 由（2）可知，當 時，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，

故有 ，所以 不合題意，舍去．

當 時， 的減區(qū)間為 ，增區(qū)間為 ．

若 ，則函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，

則 不合題意，舍去．

若 時，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，

，所以 不合題意，舍去．

若 時， ，

解得 ，

綜上所述， ．

【解析】(1)求出原函數(shù)的導函數(shù)由已知函數(shù) f ( x ) 的圖象在點 ( 1 , f ( 1 ) ) 處的切線即為 f ′ ( 1 ) = 1 + a = 1，求出a的值。(2)對（1）中的導函數(shù)進行分析，由a的不同取值范圍得到導函數(shù)的正負進而得出原函數(shù)f(x) 的增減性并得到相應的增減區(qū)間。(3)利用（2）的結(jié)論，對a分情況討論分別求出各種情況下的函數(shù)在區(qū)間上的最小值令其等于，求解出a的值。