設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx（a≠0）滿足條件：①f（-1+x）=f（-1-x）；②函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式數(shù)學(xué)公式時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解：（1）∵由①f（x）=ax2+bx（a≠0）的對(duì)稱軸方程是x=-1，
∴b=2a；
∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴有且只有一解，
即ax2+（b-1）x=0有兩個(gè)相同的實(shí)根；
故△=（b-1）2=0?b=1，a=，
所以f（x）=+x．
（2）∵π＞1∴?f（x）＞tx-2．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6283.png' />+x＞tx-2在t∈[-2，2]時(shí)恒成立等價(jià)于
函數(shù)g（t）=xt-（x2+x+2）＜0，t∈[-2，2]時(shí)恒成立；
∴??x＜-3-，x＞-3+
故實(shí)數(shù)x的取值范圍是（-∞，-3-）∪（-3+，+∞）．
分析：（1）先利用條件①得對(duì)稱軸方程求得b=2a；再利用條件②求出b和a之間的另一關(guān)系式，聯(lián)立即可求 f（x）的解析式；
（2）先利用π＞1把原不等式轉(zhuǎn)化為+x＞tx-2在t∈[-2，2]時(shí)恒成立，再把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的恒成立問(wèn)題即可求實(shí)數(shù)x的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法以及函數(shù)恒成立問(wèn)題．二次函數(shù)解析式的確定，應(yīng)視具體問(wèn)題，靈活的選用其形式，再根據(jù)題設(shè)條件列方程組，即運(yùn)用待定系數(shù)法來(lái)求解．在具體問(wèn)題中，常常會(huì)與圖象的平移，對(duì)稱，函數(shù)的周期性，奇偶性等知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c滿足f（-1）=0，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有f（x）-x≥0，并且當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）≤(
x+12
)2．
（1）求f（1）的值；
（2）求證：a＞0，c＞0；
（3）當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-mx，m∈R是單調(diào)的，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的兩個(gè)根x1、x2滿足0＜x1＜x2＜
1
a
，且函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，則有（　�。�
A、x0≤
x1
2
B、x0＞
x1
2
C、x0＜
x1
2
D、x0≥
x1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，求a2+b2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）滿足：當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值1，且f(0)=
32
．
（1）求a、b、c的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n，使x∈[m，n]時(shí)，函數(shù)的值域也是[m，n]？若存在，則求出這樣的實(shí)數(shù)m，n；若不存在，則說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2+x+a（a＞0），若f（m）＜0，則有（　　）

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