Question

如圖所示，橢圓的長軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為M(0，r)(b＞r＞0)． (1) 寫出橢圓的方程，并求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率 (2) 直線y＝k1x交橢圓于兩點(diǎn)C(x1，y1)、D(x2，y2)(y2＞0)，直線y＝k2x交橢圓于兩點(diǎn)G(x3，y3)、H(x4，y4)(y4＞0)，求證：＝ (3) 對于(2)中的C、D、G、H，設(shè)CH交x軸于點(diǎn)P，GD交x軸于點(diǎn)Q，求證：｜OP｜＝｜OQ｜．(證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：橢圓方程為＋＝1．焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－，r)，F(xiàn)2(，r)，離心率e＝．
(2)	將直線CD的方程y＝k1x代入橢圓方程，得b2x2＋a2(k1x－r)2＝a2b2，整理得(b2＋a2)x2－2k1a2rx＋(a2r2－a2b2)＝0． 　　根據(jù)韋達(dá)定理，得x1＋x2＝，x1x2＝， 　　所以＝．　　　　　　　　　�、� 　　將直線GH的方程y＝k2x代入橢圓方程，同理可得 　　　　　　　　　　　　　　　　　�、� 　　由①、②得＝＝．
(3)	如圖所示，設(shè)點(diǎn)P(p，0)，點(diǎn)Q(p，0)， 　　由D、P、H共線，得＝，解得p＝． 　　由D、Q、G共線，同理可得q＝． 　　由＝變形得－＝， 　　即－＝， 　　所以｜p｜＝｜q｜，即｜OP｜＝｜OQ｜．