Question

17．已知S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₄=19，S₇=2a₉+55．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)lnb_n=a_nln2，求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過聯(lián)立a₄=19、S₇=2a₉+55計(jì)算可得首項(xiàng)及公差，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知a_n=4n+3，進(jìn)而可知b_n=${2}^{{a}_{n}}$=2⁴ⁿ⁺³，計(jì)算可知數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2⁷、公比為2⁴的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）解：依題意，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=19}\\{7{a}_{1}+21d=2（{a}_{1}+8d）+55}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=7}\\{d=4}\end{array}\right.$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=7+4（n-1）=4n+3；
（2）證明：由（1）可知a_n=4n+3，
又∵lnb_n=a_nln2，
∴b_n=${2}^{{a}_{n}}$=2⁴ⁿ⁺³，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{4（n+1）+3}}{{2}^{4n+3}}$=2⁴，
又∵b₁=2⁴⁺³=2⁷，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2⁷、公比為2⁴的等比數(shù)列，
∴T_n=$\frac{{2}^{7}（1-{2}^{4n-4}）}{1-{2}^{4}}$=$\frac{{2}^{7}-{2}^{4n+3}}{1-{2}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．