Question

已知函數(shù)定義域（-1，1]，滿足f（x）+1=

1

f(x+1)

，當x∈[0，1]時，f（x）=x，若函數(shù)g（x）=

f(x)， -1＜x≤1 1 2 |x2-5x+6|， 1＜x≤3

，方程g（x）-mx-2m=0有三個實根，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、

  1

  36

  ≤m＜

  1

  3

• B、

  1

  36

  ＜m＜1
• C、

  9-4 5

  2

  ≤m＜

  1

  3

• D、

  9-4 5

  2

  ＜m＜

  1

  3

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,抽象函數(shù)及其應用,分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：先求出g（x）的解析式，再分別畫出函數(shù)g（x）與y=m（x+2）的圖象，觀察圖象求出m的取值范圍

解答： 解：當x∈[-1，0]，x+1∈[0，1]，
∵當x∈[0，1]時，f（x）=x，
∴f（x+1）=x+1
∵f（x）=

1

f(x+1)

-1=

1

x+1

-1=-

x

x+1

，
∴f（x）=

x，x∈[0，1] - x x+1 ，x∈(-1，0)

∵函數(shù)g（x）=

f(x)， -1＜x≤1 1 2 |x2-5x+6|， 1＜x≤3

，
∴g（x）=

- x x+1 ，-1＜x＜0 x，0≤x≤1 1 2 (x2-5x+6)，1＜x≤2 - 1 2 (x2-5x+6)，2＜x≤3

∵方程g（x）-mx-2m=0有三個實根，
∴g（x）=m（x+2），
即函數(shù)g（x）與直線y=m（x+2）有三個交點，
分別畫出函數(shù)g（x）與y=m（x+2）的圖象，
如圖所示，函數(shù)y=m（x+2）過定點（-2，0），
∴當直線過點B（1，1）時，函數(shù)圖象有兩個交點，即m=

1

3

，
故當m＜

1

3

時，兩個圖象有三個交點，
當直線過點C時，函數(shù)圖象有4個交點，
即y=m（x+2）與g（x）=-

1

2

（x²-5x+6）有且只有一個交點，
∴m（x+2）=-

1

2

（x²-5x+6），
即x²-（5-2m）x+6+4m=0，
∴△=（5-2m）²-4（6+4m）=0，
解得m=

9+4 5

2

（舍去），或m=

9-4 5

2

，
∴實數(shù)m的取值范圍=

9-4 5

2

＜x＜

1

3

，
故選：D

點評：本題考查了解析式的求法，以及方程根的問題，關鍵是利用了數(shù)形結合的思想，運算量較大，屬于中檔題