Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+2ln（x-1），a是常數(shù)．
（1）證明曲線y=f（x）在點（2，f（2））的切線經(jīng)過y軸上一個定點；
（2）若f′（x）＞（a-3）x²對?x∈（2，3）恒成立，求a的取值范圍；
（參考公式：3x³-x²-2x+2=（x+1）（3x²-4x+2））
（3）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)題意求出切點與函數(shù)的導數(shù)，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進而求出切線的方程．
（2）先把問題轉(zhuǎn)化為a＜

3x3-x2-2x+2

(x-1)(x2-1)

=

(3x2-4x+2)(x+1)

(x-1)2(x+1)

恒成立，然后求出不等式右邊的最小值即可求出實數(shù)a的取值范圍；
（3）在函數(shù) 的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，確定 的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．

解答：解：（1）f（2）=2a+4，f/(x)=2x+a+

2

x-1

，…（1分）   f′（2）=6+a…（2分），
曲線y=f（x）在點（2，f（2））的切線為y-（2a+4）=（6+a）（x-2）…（3分），
當x=0時，由切線方程得y=-8，所以切線經(jīng)過y軸上的定點（0，-8）…（4分）．
（2）由f′（x）＞（a-3）x²得
a(x2-1)＜3x2+2x+

2

x-1

=

3x3-x2-2x+2

x-1

…（5分），
對?x∈（2，3），x²-1＞0，
所以a＜

3x3-x2-2x+2

(x-1)(x2-1)

=

(3x2-4x+2)(x+1)

(x-1)2(x+1)

=

3x2-4x+2

(x-1)2

…（6分），
設g(x)=

3x2-4x+2

(x-1)2

，則g/(x)=

-2x

(x-1)3

＜0…（7分）
g（x）在區(qū)間（2，3）單調(diào)遞減…（8分），
所以a≤g(3)=

17

4

，a的取值范圍為(-∞，

17

4

]…（9分）．
（3）函數(shù)f（x）=x²+ax+2ln（x-1）的定義域為（1，+∞），f/(x)=2x+a+

2

x-1

=2[(x-1)+

1

x-1

]+a+2≥a+6…（10分）．
若a≥-6，則f′（x）≥0，f（x）在定義域（1，+∞）上單調(diào)增加…（11分）；
若a＜-6，解方程f/(x)=2x+a+

2

x-1

=0得
x1=

2-a+ (a-2)(a+6)

4

，x2=

2-a- (a-2)(a+6)

4

…（12分），
x₁＞x₂＞1，當x＞x₁或1＜x＜x₂時，f′（x）＞0；
當x₂＜x＜x₁時，f′（x）＜0…（13分），
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（1，x₂）和（x₁，+∞），
單調(diào)減區(qū)間是[x₂，x₁]（區(qū)間無論包含端點x₁、x₂均可，但要前后一致）…（14分）

點評：本題主要考查函數(shù)恒成立問題以及轉(zhuǎn)化思想的應用和計算能力，屬于對知識和思想方法的綜合考查，屬于中檔題．對于第三問要注意到參數(shù)的取值范圍對導數(shù)的符號有影響故需要對參數(shù)分類討論，而第二問中關鍵是把函數(shù)是減函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立的問題，轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學在應用很廣泛．