Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n=3a_n+2n．
（1）求證：數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{

an

2×3n

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用公式法得出a_n-2=

3

2

（a_n-1-2），即得結(jié)論成立；
（2）由（1）得

an

2×3n

=

1

3n

-

1

2n

，利用等比數(shù)列求和公式即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由S_n=3a_n+2n，得S_n-1=3a_n-1+2（n-1）（n≥2），
兩式相減得a_n=3a_n-3a_n-1+2，即a_n=

3

2

a_n-1-1，
∴a_n-2=

3

2

（a_n-1-2），
又∵S₁=a₁=3a₁+2，∴a₁=-1，a₁-2=-3，
∴數(shù)列{a_n-2}是首項(xiàng)為-3，公比為

3

2

的等比數(shù)列．
（2）由（1）得a_n-2=-3×(

3

2

)n-1，∴a_n=2-3×(

3

2

)n-1，
∴

an

2×3n

=

1

3n

-

1

2n

，
∴T_n=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1

2n

-

1

2×3n

-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬中檔題．