Question

若函數(shù)y=f（x）對定義域的每一個值x₁，都存在唯一的x₂使f（x₁）f（x₂）=1成立，則稱此函數(shù)為“夢想函數(shù)”．下列說法正確的是

 

．（把你認為正確的序號填上）
①y=

1

x2

是“夢想函數(shù)”；②y=2^x是“夢想函數(shù)”；③y=lnx是“夢想函數(shù)”；
④若y=f（x），y=g（x）都是“夢想函數(shù)”，且定義域相同，則y=f（x）g（x）是“夢想函數(shù)”．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義

分析：①假設y=f（x）=

1

x2

是“夢想函數(shù)”，其定義域為A={x|x≠0}．
對于?x₁∈A，

1

x 2 1

•

1

x 2 2

=1成立，取x₁=1，則x₂=±1，不滿足新定義；
②假設y=f（x）=2^x是“夢想函數(shù)”，其定義域是R．
對于?x₁∈R，2x1•2x2=1成立，解得x₂=-x₁，滿足條件；
③假設y=f（x）是lnx是“夢想函數(shù)”，其定義域是A=（0，+∞）．
對于?x₁∈A，lnx₁lnx₂=1成立，當取x₁=1時，lnx₁=0，上式不成立，即可判斷出；
④假設y=f（x）•g（x）是“夢想函數(shù)”，對于定義域中每一個x₁，都存在唯一的x₂，
使y=f（x₁）f（x₂）=1和y=g（x₁）g（x₂）=1成立，e而兩個x₂不一定相等，不滿足定義．

解答： 解：①假設y=f（x）=

1

x2

是“夢想函數(shù)”，其定義域為A={x|x≠0}．
對于?x₁∈A，則?唯一的x₂∈A，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，即

1

x 2 1

•

1

x 2 2

=1，化為|x₁x₂|=1．
若取x₁=1，則x₂=±1，與假設矛盾，因此假設錯誤，即y=f（x）=

1

x2

不是“夢想函數(shù)”；
②假設y=f（x）=2^x是“夢想函數(shù)”，其定義域是R．
?x₁∈R，則?唯一的x₂∈R，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，即2x1•2x2=1成立，∴2x1+x2=1，解得x₁+x₂=0，即x₂=-x₁，滿足條件，因此y=f（x）=2^x是“夢想函數(shù)”；
③假設y=f（x）是lnx是“夢想函數(shù)”，其定義域是A=（0，+∞）．
?x₁∈A，則?唯一的x₂∈A，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，即lnx₁lnx₂=1成立，當取x₁=1時，lnx₁=0，上式不成立，
因此假設錯誤，故y=f（x）=lnx不是“夢想函數(shù)”；
④∵y=f（x），y=g（x）都是“夢想函數(shù)”，且定義域相同，
∴對于定義域中每一個x₁，都存在唯一的x₂，使y=f（x₁）f（x₂）=1和y=g（x₁）g（x₂）=1成立，
∵兩個x₂不一定相等，
∴y=f（x₁）g（x₁）•f（x₂）g（x₂）=1不一定成立，
∴⑤不是“夢想函數(shù)”．
綜上可知：只有②是“夢想函數(shù)”．
故答案為：②．

點評：本題考查了新定義、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的性質，考查了推理能力和解決新問題的能力，屬于難題．