Question

設函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1），x∈R．
（1）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（2）解不等式2f（x）≤f^-1（x+log₂5）．

Answer 1

解：（1）y=log₂（2^x+1），則2^x=2^y-1，y＞0
∴x=log₂（2^y-1）
∴f^-1（x）=log₂（2^x-1），x∈（0，+∞）．
（2）由2f（x）≤f^-1（x+log₂5），得x+log₂5＞0，
且2log₂（2^x+1），
∴（2^x）²-3×2²+2≤0，∴1≤2^x≤2，?0≤x≤1
綜上，得0≤x≤1．
分析：（1）利用指數(shù)是與對數(shù)式的互化關系，求出反函數(shù)的解析式，然后根據(jù)原函數(shù)的值域確定反函數(shù)的定義域即可；
（2）先根據(jù)函數(shù)的定義域求出x的范圍，然后代入解析式，解對數(shù)不等式，轉化成指數(shù)不等式進行求解，即可求出x的取值范圍．
點評：本題主要考查了反函數(shù)的求解，以及對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用，同時考查轉化與劃歸的思想，計算能力，屬于中檔題．