Question

6．已知f（x）為偶函數，且x≥0時，f（x）=x-[x]（[x]表示不超過x的最大整數）．設g（x）=f（x）-kx-k（k∈R），若k=1，則函數g（x）有2個零點；若函數g（x）三個不同的零點，則k的取值范圍是$（{-\frac{1}{3}}\right.，\left.{-\frac{1}{4}}]∪[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）$．

Answer 1

分析 根據[x]的定義，通過k=1，化簡函數g（x）的解析式，畫出圖象判斷零點個數；函數g（x）三個不同的零點，通過兩個函數的圖象，利用數形結合即可得到結論．

解答 解：k=1，x≥0時，函數g（x）=f（x）-x-1，令g（x）=0，可得f（x）=x-[x]，y=x+1，畫出兩個函數的圖象如圖：

∵函數g（x）=f（x）-x-1有2個零點．
因為函數是偶函數，所以先考慮x≥0的情況，

當0≤x＜1時，[x]=0，此時f（x）=x-[x]=x．
當1≤x＜2時，[x]=1，此時f（x）=x-[x]=x-1．
當2≤x＜3時，[x]=2，此時f（x）=x-[x]=x-2．
當3≤x＜4時，[x]=3，此時f（x）=x-[x]=x-3．
設g（x）=kx+k=k（x+1），則g（x）過定點P（-1，0），
坐標系中作出函數y=f（x）和g（x）的圖象如圖：
當g（x）經過點A（-5，1），B（-4，1）時有3個不同的交點，當經過點C（1，1），D（2，1）時，有2個不同的交點，
則AP的斜率k=-$\frac{1}{4}$，BP的斜率k=-$\frac{1}{3}$，PC的斜率k=$\frac{1}{2}$，PD的斜率k=$\frac{1}{3}$，
故滿足條件的斜率k的取值范圍是：$（{-\frac{1}{3}}\right.，\left.{-\frac{1}{4}}]∪[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）$，
故答案為：2；$（{-\frac{1}{3}}\right.，\left.{-\frac{1}{4}}]∪[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）$．

點評 本題主要考查函數交點個數的問題，利用函數零點和方程之間的關系轉化為兩個函數的交點是解決本題的根據，利用數形結合是解決函數零點問題的基本思想．