(1)已知:,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域;
(2)a≥1,函數(shù)g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性并予以證明;
(3)當(dāng)a≥1時(shí),上述(1)、(2)小題中的函數(shù)f(x)、g(x),若對(duì)任意x1∈[0,1],總存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求a的取值范圍.
【答案】分析:(1)將f(x)進(jìn)行化簡成對(duì)勾函數(shù)的形式,換元令t=2x+1,1≤t≤3然后利用定義進(jìn)行判斷函數(shù)的單調(diào)性,
(2)直接利用單調(diào)函數(shù)的定義進(jìn)行判定
(3)存在性問題,轉(zhuǎn)化成f(x)的值域⊆g(x)的值域求解即可
解答:解:(1),設(shè)t=2x+1,1≤t≤3

任取t1、t2∈[1,3],且t1<t2,
當(dāng)時(shí),f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),f(x)單調(diào)遞增.
,得f(x)的值域?yàn)閇-4,-3].
(2)設(shè)x1、x2∈[0,1],且x1<x2,
則g(x1)-g(x2)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22-3a2)>0,
所以g(x)單調(diào)遞減.
(3)由g(x)的值域?yàn)椋?-3a2-2a=g(1)≤g(x)≤g(0)=-2a,
所以滿足題設(shè)僅需:1-3a2-2a≤-4≤-3≤-2a,
解得,
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值域,以及存在性問題的求解,是一個(gè)函數(shù)綜合題.
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(3)當(dāng)a≥1時(shí),上述(1)、(2)小題中的函數(shù)f(x)、g(x),若對(duì)任意x1∈[0,1],總存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求a的取值范圍.

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