Question

已知橢圓

x2

a

+

y2

b

=1(a＞b＞0)過點(diǎn)(1，

3

2

)，且離心率為

1

2

，A、B是橢圓上縱坐標(biāo)不為零的兩點(diǎn)，若

AF

=λ

FB

(λ∈R)，且|

AF

|≠|(zhì)

FB

|，其中F為橢圓的左焦點(diǎn)．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求A、B兩點(diǎn)的對稱直線在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得，

12 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=3
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）A，B是橢圓上縱坐標(biāo)不為零的兩點(diǎn)，

AF

=λ

FB

(λ∈R)
∴A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，且直線AB的斜率存在且不為0
又F（-1，0），可記AB方程為y=k（x+1），代入橢圓的方程，化簡，得
（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，顯然△＞0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
則x₀=

x1+x2

2

=

-4k2

3+4k2

，y₀=k（x₀+1）=

3k

3+4k2

直線AB的垂直平分線方程為y-y₀=-

1

k

（x-x₀）
令x=0，得，y=-

k

3+4k2

=-

1

4k+ 3 k

∵|4k+

3

k

|≥4

3

，當(dāng)且僅當(dāng)|k|=

3

2

時(shí)取“=“
∴4k+

3

k

≥4

3

或4k+

3

k

≤-4

3

∴線段AB的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍為[-

3

12

，0]∪（0，

3

12

]．