Question

（本小題滿分14分）已知橢圓C : , 經(jīng)過點P，離心率是．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點，且以為直徑的圓過橢圓右頂點，求證：直線l恒過定點．

Answer 1

（1）； （2）詳見解析；

【解析】

試題分析：（1）由橢圓過點P 得，由離心率是得,另外結(jié)合列方程組即可確定 的值從而得到橢圓C的方程；

（2）設(shè)，，直線的方程為 ，或，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去一個變量，得到關(guān)于 或的一元二次方程，結(jié)合一元二次方程根的判別式與韋達(dá)定理以及平面向量的數(shù)量積確定的關(guān)系，從而找出定點坐標(biāo)．注意不論直線的方程設(shè)為哪一種形式都要先考察它與坐標(biāo)軸平行的特殊情況．

試題解析：【解析】
（1）由，解得 ，

所以橢圓C的方程是 ． ． 5分

（2）方法一

（1）由題意可知，直線的斜率為0時，不合題意．

（2)不妨設(shè)直線的方程為 ．

由 消去得． 7分

設(shè)，，則有 ①, ② 8分

因為以為直徑的圓過點，所以．

由，得．

將代入上式，

得． ③ 12分

將①②代入③，得 ，

解得或（舍）．

綜上，直線經(jīng)過定點 14分

方法二

證明：

（1）當(dāng)不存在時，易得此直線恒過點． 7分

（2）當(dāng)存在時．設(shè)直線，，，．

由，可得．

①

．② 9分

由題意可知

,

可得 ． 10分

整理得 ③

把①②代入③整理得

由題意可知

解得

（1）當(dāng)，直線過定點（2,0）不符合題意，舍掉． 12分

（2），即，直線過定點，經(jīng)檢驗符合題意．

綜上所述，直線過定點 14分

考點：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)；2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系綜合問題．