Question

（本小題滿分14分）已知橢圓C : , 經(jīng)過點P，離心率是．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線與橢圓交于兩點，且以為直徑的圓過橢圓右頂點，求證：直線l恒過定點．

Answer 1

（1）； （2）詳見解析；

【解析】

試題分析：（1）由橢圓過點P 得，由離心率是得,另外結合列方程組即可確定 的值從而得到橢圓C的方程；

（2）設，，直線的方程為 ，或，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去一個變量，得到關于 或的一元二次方程，結合一元二次方程根的判別式與韋達定理以及平面向量的數(shù)量積確定的關系，從而找出定點坐標．注意不論直線的方程設為哪一種形式都要先考察它與坐標軸平行的特殊情況．

試題解析：【解析】
（1）由，解得 ，

所以橢圓C的方程是 ． ． 5分

（2）方法一

（1）由題意可知，直線的斜率為0時，不合題意．

（2)不妨設直線的方程為 ．

由 消去得． 7分

設，，則有 ①, ② 8分

因為以為直徑的圓過點，所以．

由，得．

將代入上式，

得． ③ 12分

將①②代入③，得 ，

解得或（舍）．

綜上，直線經(jīng)過定點 14分

方法二

證明：

（1）當不存在時，易得此直線恒過點． 7分

（2）當存在時．設直線，，，．

由，可得．

①

．② 9分

由題意可知

,

可得 ． 10分

整理得 ③

把①②代入③整理得

由題意可知

解得

（1）當，直線過定點（2,0）不符合題意，舍掉． 12分

（2），即，直線過定點，經(jīng)檢驗符合題意．

綜上所述，直線過定點 14分

考點：1、橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)；2、直線與圓錐曲線的位置關系綜合問題．