Question

13．在三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=1，A=$\frac{π}{4}$，bsin（$\frac{π}{4}$+C）=csin（$\frac{π}{4}$+B）+1
（Ⅰ）求B，C的值
（Ⅱ）求三角形ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）a=1，A=$\frac{π}{4}$，bsin（$\frac{π}{4}$+C）=csin（$\frac{π}{4}$+B）+1，利用正弦定理可得：sinBsin（$\frac{π}{4}$+C）=sinCsin（$\frac{π}{4}$+B）+sin$\frac{π}{4}$，化為：sin（B-C）=1，B-C=$\frac{π}{2}$，又B+C=$\frac{3π}{4}$，即可得出．
（II）由$sin\frac{5π}{8}$=$sin（\frac{π}{2}+\frac{π}{8}）$=cos$\frac{π}{8}$．由正弦定理可得：c=$\sqrt{2}sin\frac{π}{8}$，利用S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$即可得出．

解答 解：（I）∵a=1，A=$\frac{π}{4}$，bsin（$\frac{π}{4}$+C）=csin（$\frac{π}{4}$+B）+1，
∴sinBsin（$\frac{π}{4}$+C）=sinCsin（$\frac{π}{4}$+B）+sin$\frac{π}{4}$，
化為：sinBcosC=cosBsinC+1，
∴sin（B-C）=1，
∵B，C∈（0，π），
∴B-C=$\frac{π}{2}$，
又B+C=$\frac{3π}{4}$，解得B=$\frac{5π}{8}$，C=$\frac{π}{8}$．
（II）由$sin\frac{5π}{8}$=$sin（\frac{π}{2}+\frac{π}{8}）$=cos$\frac{π}{8}$．
由正弦定理可得：$\frac{c}{sin\frac{π}{8}}=\frac{1}{sin\frac{π}{4}}$，可得c=$\sqrt{2}sin\frac{π}{8}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}sin\frac{π}{8}cos\frac{π}{8}$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了正弦定理的應(yīng)用、三角形面積計算公式、誘導(dǎo)公式、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．