Question

已知以點C （t，

2

t

）（t∈R），t≠0）為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為坐標原點．
（1）求證：△OAB的面積為定值．
（2）設直線y=-2x+4與圓C交于點M，N若|OM|=|ON|，求圓C的方程．
（3）若t＞0，當圓C的半徑最小且時，圓C上至少有三個不同的點到直線l：y-

2

=k(x-3-

2

)的距離為

1

2

，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為圓C過原點，利用兩點間的距離公式表示出出O到C的距離即為圓的半徑，然后根據(jù)點C的坐標，寫出圓C的標準方程，令x=0，解出相應y的值，令y=0解出相應x的值，進而表示出點A和點B的坐標，利用三角形的面積公式表示出三角形AOB的面積，約分后得到面積為定值，得證；
（2）根據(jù)圓上的點到圓心的距離相等得到|CM|=|CN|，又因為|OM|=|ON|，得到OC垂直平分線段MN，由已知直線的斜率，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1，求出直線OC的斜率，然后利用C的坐標表示出斜率，兩者相等得到關于t的方程，求出方程的解得到t的值，然后把求出的t的值代入點C的坐標中確定出圓心的坐標和圓的半徑，利用點到直線的距離公式判斷圓心到已知直線的距離小于半徑即已知直線與圓相交，把不符合題意的t舍去，得到滿足題意的t的值，進而得到圓C的方程；
（3）根據(jù)圓C的方程找出圓的半徑，然后利用基本不等式求出半徑的最小值以及半徑最小時t的值，把求出的t的值代入即可確定出圓心C的坐標和圓的半徑，寫出此時圓C的方程，根據(jù)題中要求的圓C上至少有三個不同的點到直線l：y

2

=k(x-3-

2

)的距離為

1

2

，即圓心到直線的距離要小于等于2-

1

2

，利用點到直線的距離公式列出關于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范圍．

解答：解：（1）∵圓C過原點O，∴OC²=t²+

4

t2

，
則圓C的方程為（x-t）²+（y-

2

t

）²=t²+

4

t2

，
令x=0，得y₁=0，y₂=

4

t

；令y=0得x₁=0，x₂=2t，
即A（2t，0），B（0，

4

t

），
∴S_△OAB=

1

2

OA×OB=

1

2

|

4

t

|×|2t|=4．
即△OAB的面積為定值；
（2）∵|OM|=|ON|，|CM|=|CN|，∴OC垂直平分線段MN．
∵K_MN=-2，∴K_OC=

1

2

，
∴

2

t

=

1

2

t，解得t=2或t=-2．
當t=2時，圓心C的坐標為（2，1）半徑OC=

5

，此時圓心到直線y=-2x+4的距離d=

1

5

＜

5

，
即圓C與直線y=-2x+4相交于兩點．
當t=-2時，圓心C的坐標為（-2，-1）半徑OC=

5

此時圓心到直線y=-2x+4的距離d=

9

5

＞

5

，即圓C與直線y=-2x+4不相交，
∴t=-2不合題意，舍去．
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5；
（3）半徑OC=

t2+ 4 t2

≥

4

=2．當且僅當t=±

2

時取等號，
∵t＞0，∴t=

2

．
此時圓心坐標為C（

2

，  

2

），半徑為2．
若圓C上至少有三個不同的點到直線l：y-

2

=k（x-3-

2

）的距離為

1

2

．
則圓心C到直線的距離d≤

3

2

．
即：

|3k|

1+k2

≤

3

2

所以-

3

3

≤k≤

3

3

．

點評：此題考查學生掌握兩直線垂直時斜率的關系，靈活運用兩點間的距離公式以及點到直線的距離公式化簡求值，會利用基本不等式求函數(shù)的最值，掌握直線與圓的位置關系，是一道多知識的綜合題．