Question

17．設(shè)命題p：?m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥$\sqrt{{m^2}+8}$恒成立，
命題q：函數(shù)f（x）=lg（x²-4x+a²）的定義域?yàn)镽；
如果命題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 因?yàn)槊�題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，所以p，q一真一假，進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵m∈[-1，1]，
∴$\sqrt{{m^2}+8}$∈[2$\sqrt{2}$，3]，
若不等式a²-5a-3≥$\sqrt{{m^2}+8}$恒成立，
則a²-5a-3≥3，
則a≤-1，或a≥6，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=lg（x²-4x+a²）的定義域?yàn)镽
，所以x²-4x+a²＞0恒成立，
即△=16-4a²＜0，解得a＜-2或a＞2．
因?yàn)槊�題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，
所以p，q一真一假，
（1）p真q假時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}a≥6或a≤-1\\-2≤a≤2\end{array}\right.$，解得-2≤a≤-1；
（2）$\begin{array}{l}p假q真時(shí)\end{array}$，$\left\{\begin{array}{l}-1＜a＜6\\ a＜-2或a＞2\end{array}\right.$，解得2＜a＜6．
綜上所述：a的取值范圍為[-2，-1]∪（2，6）

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，函數(shù)的單調(diào)性，二次方程根的個(gè)數(shù)判斷等知識點(diǎn)，難度中檔．