Question

如圖：過拋物線y²=4x上的點A（1，2）作切線l交x軸與直線x=-4分別于D，B．動點P是拋物線y²=4x上的一點，點E在線段AP上，滿足；點F在線段BP上，滿足，3λ₁+2λ₂=15且在△ABP中，線段PD與EF交于點Q．
（1）求點Q的軌跡方程；
（2）若M，N是直線x=-3 上的兩點，且⊙O₁：（x+2）²+y²=1是△QMN的內切圓，試求△QMN面積的取值范圍．

Answer 1

解：（1）切線AB：y=x+1，D（-1，0），
B（-4，-3），=（3，3），=（2，2），=，
則=，
令
=，
由于E，Q，F(xiàn)三點共線，所以，
即，
又3λ₁+2λ₂=15，故，Q分的定比為，
設P（x₀，y₀），Q（x，y），則，
故，得（y）
（2）設Q（x₀，y₀）（），M（-3，m），N（-3，n），
則（）
切線MQ：y-m=，
由相切可得：（x₀+1）m²+2y₀m-（x₀+3）=0，
同理（x₀+1）n²+2y₀n-（x₀+3）=0．
知m，n是方程（x₀+1）x²+2y₀x-（x₀+3）=0的兩根
故，，

=，
令t=x₀+1，
則（t），
二次求導可知g′（t）＞0，
△QMN面積的取值范圍．
分析：（1）切線AB：y=x+1，D（-1，0），B（-4，-3），=（3，3），=（2，2），=，則=，由此能求出點Q的軌跡方程．
（2）設Q（x₀，y₀）（），M（-3，m），N（-3，n），則（）．切線MQ：y-m=，由相切可得：（x₀+1）m²+2y₀m-（x₀+3）=0，同理（x₀+1）n²+2y₀n-（x₀+3）=0．由此能求出△QMN面積的取值范圍．
點評：本題考查點Q的軌跡方程的求法和求△QMN面積的取值范圍，具體涉及到拋物線的性質、圓的性質和直線與圓錐曲線的相關知識，解題時要認真審題，仔細解答．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．