Question

如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F(xiàn)分別是AD，AA₁的中點(diǎn)．
（1）求直線EF和直線AB₁所成的角的大小；
（2）求二面角D-A₁C₁-D₁的正切值．

Answer 1

分析：（1）利用平移法，可得∠C₁DA₁（或其補(bǔ)角）就是直線EF和直線AB₁所成的角，利用等邊三角形，即可得到結(jié)論；
（2）連接B₁D₁，交A₁C₁于O，連接OD，則∠DOD₁為二面角D-A₁C₁-D₁的平面角，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵E，F(xiàn)分別是AD，AA₁的中點(diǎn)，
∴EF∥A₁D
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體
∴AB₁∥DC₁
∴∠C₁DA₁（或其補(bǔ)角）就是直線EF和直線AB₁所成的角，
在△C₁DA₁中，A₁D=DC₁=A₁C₁，∴∠C₁DA₁=60°，
即直線EF和直線AB₁所成的角是60°；
（2）連接B₁D₁，交A₁C₁于O，連接OD，則∠DOD₁為二面角D-A₁C₁-D₁的平面角
∴tan∠DOD₁=

DD1

OD1

=

2

，
即二面角D-A₁C₁-D₁的正切值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面角，考查面面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確作出空間角是關(guān)鍵．