Question

已知有窮數(shù)列{a_n}，{b_n}對(duì)任意的正整數(shù)n∈N^*都有a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2．
（1）若{a_n}是等差數(shù)列，且首項(xiàng)和公差相等，求證：{b_n}是等比數(shù)列．
（2）若{a_n}是等差數(shù)列，且{b_n}是等比數(shù)列，求證：a_nb_n=n•2^n-1．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，代入a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2中，利用錯(cuò)位相減法求得b_n=

1

a

2^n-1，進(jìn)而推斷數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為

1

a

，公比為2的等比數(shù)列．
（2）同（1）得an=

2-q

b

×2n+

q-1

b

×n+

q-2

b

，結(jié)合q=2及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求．

解答： 解：（1）{a_n}是等差數(shù)列，且首項(xiàng)和公差相等，設(shè)首項(xiàng)和公差為a，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=na，
∵a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，
∴ab_n+2ab_n-1+3ab_n-2+…+（n-1）ab₂+nab₁=2ⁿ⁺¹-n-2①，
∴ab_n-1+2ab_n-2+…+（n-2）ab₂+（n-1）ab₁=2ⁿ-n-1②，
①-②得，
a（b_n+b_n-1+••+b₂+b₁）=2ⁿ-1，
b_n=

1

a

×2^n-1，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為

1

a

，公比為2的等比數(shù)列．
（2）{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a，公差為d，a_n=a+（n-1）d，
{b_n}是等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為b，公比為q，則b_n=bq^n-1，
bq^n-1a₁+bq^n-2a₂+bq^n-3a₃+…+bqa_n-1+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
又bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃+…+ba_n-1=2ⁿ-n-1（n≥2），
故（2ⁿ-n-1）q+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
∴an=

2-q

b

×2n+

q-1

b

×n+

q-2

b

，
∴a_n+1-a_n=

2-q

b

×2n+

q-1

b

，
∵{a_n}是等差數(shù)列，
∴q=2，d=

1

b

，
∴a_nb_n=n•2^n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式及由數(shù)列的“和”轉(zhuǎn)化為“項(xiàng)”的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和推理論證能力．解題中體現(xiàn)了分類討論的思想在解題中的應(yīng)用．