Question

19．已知函數(shù)f（x）=x|x-2|．
（1）作出函數(shù)f（x）=x|x-2|的大致圖象；
（2）若方程f（x）-k=0有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（3）若x∈（0，m]（m＞0），求函數(shù)y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）寫出f（x）的分段形式，畫出圖象；
（2）由題意可得，函數(shù)f（x）圖象與直線y=k有三個(gè)交點(diǎn)，通過平移直線y=k，即可得到k 范圍；
（3）對(duì)m討論，分當(dāng)0＜m≤1時(shí)，當(dāng)1＜m≤1+$\sqrt{2}$時(shí)，當(dāng)m＞1+$\sqrt{2}$時(shí)，三種情況，通過圖象和單調(diào)性，即可得到最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥2}\\{2x-{x}^{2}，x＜2}\end{array}\right.$，
由分段函數(shù)的畫法，可得如圖：
（2）若方程f（x）-k=0有三個(gè)解，即函數(shù)f（x）圖象與直線y=k有三個(gè)交點(diǎn)，
由圖可得，當(dāng)0＜k＜1時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）-k=0有三個(gè)解；
（3）當(dāng)0＜m≤1時(shí)，f（x）在（0，m]遞增，f（m）取得最大值，且為2m-m²；
由x²-2x=1，解得x=1+$\sqrt{2}$（1-$\sqrt{2}$舍去），
當(dāng)1＜m≤1+$\sqrt{2}$時(shí)，由f（x）的圖象可得f（1）取得最大值1；
當(dāng)m＞1+$\sqrt{2}$時(shí)，由f（x）的圖象可得f（m）取得最大值m²-2m．
綜上可得，當(dāng)0＜m≤1時(shí)，f（x）的最大值為2m-m²；
當(dāng)1＜m≤1+$\sqrt{2}$時(shí)，f（x）的最大值為1；
當(dāng)m＞1+$\sqrt{2}$時(shí)，f（x）的最大值為m²-2m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用：求范圍和最值，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想方法，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．