Question

第30屆夏季奧運(yùn)會(huì)將于2012年7月27日在英國(guó)倫敦召開(kāi)，某百貨公司預(yù)計(jì)從2012年1月起前x個(gè)月市場(chǎng)對(duì)某種奧運(yùn)商品的需求總量，（x∈N^*，且x≤12）．該商品的進(jìn)價(jià)q（x）與月份x的近似關(guān)系為q（x）=150+2x（x∈N^*，x≤12）．
（1）求2012年第x個(gè)月的需求量f（x）；
（2）該商品每件的售價(jià)為185元，若不計(jì)其他費(fèi)用且每月都能滿足市場(chǎng)需求，則該百貨公司2012年僅銷售該商品可獲月利潤(rùn)預(yù)計(jì)最大是多少？

Answer 1

解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=p（1）=37．（2分）
當(dāng)2≤x≤12時(shí)，f（x）=p（x）-p（x-1）
=x（x+1）（39-2x）-（x-1）x（41-2x）
=-3x2+40x，（x∈N*且x≤12）（5分）
驗(yàn)證x=1符合f（x）=-3x²+40x，
∴f（x）=-3x²+40x（x∈N*且x≤12）．（7分）
（2）該商場(chǎng)預(yù)計(jì)銷售該商品的月利潤(rùn)為
g（x）=（-3x²+40x）（185-150-2x）
=6x³-185x²+1400x，（x∈N*且x≤12），
令h（x）=6x³-185x²+1400x（1≤x≤12），
h'（x）=18x²-370x+1400，
令h'（x）=0，解得x=5，x=（舍去）．（10分）
當(dāng)1≤x＜5時(shí)，h'（x）＞0；當(dāng)5＜x≤12時(shí)，h'（x）＜0．
∴當(dāng)x=5時(shí)，h（x）取最大值h（5）=3125．（12分）
∴當(dāng)x=5時(shí)，g（x）_max=g（5）=3125（元）．
綜上，5月份的月利潤(rùn)最大是3125元．（14分）
分析：（1）由題意得，第x個(gè)月的需求量等于第x個(gè)月的需求總量減去第x-1個(gè)月的需求總量，當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=p（1），當(dāng)2≤x≤12時(shí)，f（x）=p（x）-P（x-1）；
（2）根據(jù)月利潤(rùn)=該商品每件的利潤(rùn)×月銷售量，列出關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求最值求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)知識(shí)解決應(yīng)用題的有關(guān)知識(shí)．新高考中的重要的理念就是把數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中，如何建模是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵．同時(shí)要熟練地利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決函數(shù)的求最值問(wèn)題．