Question

在平面直角坐標系xOy中，記二次函數(shù)f（x）=x²+2x+b（x∈R）與兩坐標軸有三個交點．經(jīng)過三個交點的圓記為C．
（1）求實數(shù)b的取值范圍；
（2）求圓C的方程；
（3）問圓C是否經(jīng)過定點（其坐標與b的無關(guān)）？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：．（1）令x=0，得拋物線與y軸交點是（0，b）；
令f（x）=x²+2x+b=0，
由題意b≠0且△＞0，
解得b＜1且b≠0．
（2）設(shè)所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
令y=0得x²+Dx+F=0這與x²+2x+b=0是同一個方程，
故D=2，F(xiàn)=b．
令x=0得y²+Ey+F=0，方程有一個根為b，
代入得出E=﹣b﹣1．
所以圓C的方程為x²+y²+2x﹣（b+1）y+b=0．
（3）圓C必過定點，證明如下：假設(shè)圓C過定點（x₀，y₀）（x₀，y₀不依賴于b），
將該點的坐標代入圓C的方程，并變形為x₀²+y₀²+2x₀﹣y₀+b（1﹣y₀）=0（*）
為使（*）式對所有滿足b＜1（b≠0）的b都成立，
必須有1﹣y₀=0，結(jié)合（*）式得x₀²+y₀²+2x₀﹣y₀=0，
解得
經(jīng)檢驗知，點（0，1），（﹣2，1）均在圓C上，因此圓C過定點．