Question

20．已知：函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$（sinx-cosx）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和當(dāng)x∈（-$\frac{π}{12}$，π）時的值域；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（a，$\frac{6}{5}$），$\frac{π}{4}$＜a＜$\frac{3π}{4}$．求f（$\frac{π}{4}$+a）的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡可得解析式f（x）=2sin（x-$\frac{π}{4}$），可求函數(shù)的最小正周期為2π，由$x∈（{-\frac{π}{12}，π}）$，可求x-$\frac{π}{4}$的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得當(dāng)x∈（-$\frac{π}{12}$，π）時的值域．
（2）依題意得：2sin（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{6}{5}$，可得sin（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，結(jié)合范圍$\frac{π}{4}$＜a＜$\frac{3π}{4}$，可求0＜$α-\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，可求cos（$α-\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-\frac{π}{4}）}$的值，由f（$\frac{π}{4}+α$）=2sin[（$α-\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]，利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可求值．

解答 （本題滿分14分）
解：（1）f（x）=$\sqrt{2}$（sinx-cosx）=2（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）=2sin（x-$\frac{π}{4}$），---（2分）
∴函數(shù)的最小正周期為2π，--------------（3分）
∵$x∈（{-\frac{π}{12}，π}）$
$\begin{array}{l}∴x-\frac{π}{4}∈（{-\frac{π}{3}，\frac{3}{4}π}）∴sin（x-\frac{π}{4}）∈（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]\\∴y∈（{-\sqrt{3}，2}]\end{array}$，------------------------------（7分）
（2）依題意得：2sin（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{6}{5}$，可得sin（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
∵$\frac{π}{4}$＜a＜$\frac{3π}{4}$，
∴0＜$α-\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，
∴cos（$α-\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-\frac{π}{4}）}$=$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，----------------------------（9分）
∵f（$\frac{π}{4}+α$）=2sin[（$α-\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]，--------------------------（10分）
∵sin[（$α-\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（$α-\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（$α-\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{3}{5}+\frac{4}{5}）$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，…（13分）
∴f（$\frac{π}{4}+α$）=$\frac{7\sqrt{2}}{5}$．--------------------------------------------------（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．