Question

設函數(shù),的兩個極值點為,線段的中點為.

(1) 如果函數(shù)為奇函數(shù),求實數(shù)的值;當時，求函數(shù)圖象的對稱中心；

(2) 如果點在第四象限,求實數(shù)的范圍;

(3) 證明:點也在函數(shù)的圖象上,且為函數(shù)圖象的對稱中心.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)圖象的對稱中心為（1，0）.

（2）或.

（3）由（2）得點，推出點也在函數(shù)的圖象上.    

設為函數(shù)的圖象上任意一點，

求得關于的對稱點為 

證明在函數(shù)的圖像上.證得為函數(shù)的對稱中心.

【解析】

試題分析：（1）【法一】因為為奇函數(shù)，所以, 得：.

當時，，有，則為奇函數(shù).   4分

【法二】,恒成立， , 求得.

當時，，該圖象可由奇函數(shù)的圖象向右平移一個單位得到， 可知函數(shù)圖象的對稱中心為（1，0）.   4分

（2）,

令，則為兩實根.,.

 

=

= , 

點在第四象限,得：  

或.    10分

（3）由（2）得點，

又

=，所以點也在函數(shù)的圖象上.      12分

設為函數(shù)的圖象上任意一點，

關于的對稱點為 

而

=.

即在函數(shù)的圖像上.

所以，為函數(shù)的對稱中心.     16分

【法二】設 

 .

為奇函數(shù)，

對稱中心為.

把函數(shù)的圖象按向量

平移后得的圖象，

 為函數(shù)的對稱中心.    16分

考點：本題主要考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)圖象的對稱性。

點評：中檔題，本題解法較多，緊緊圍繞函數(shù)圖象的對稱性展開討論。奇函數(shù)圖象關于原點對稱，偶函數(shù)圖象關于y軸對稱。