Question

【題目】橢圓： 的離心率為，過右焦點(diǎn)垂直于軸的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)且，又過左焦點(diǎn)任作直線交橢圓于點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）橢圓上兩點(diǎn)， 關(guān)于直線對(duì)稱，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

(1)由題意求得， ，∴橢圓的方程為．

(2)當(dāng)直線斜率存在且時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓的方程計(jì)算可得假設(shè) 不成立；

當(dāng)直線的斜率時(shí)，面積函數(shù)，結(jié)合橢圓方程和均值不等式的結(jié)論可得面積的最大值為.

試題解析：

（Ⅰ）由條件有，∴，又，且，

∴， ，∴橢圓的方程為．

（Ⅱ）依題意直線不垂直軸，當(dāng)直線的斜率時(shí)，可設(shè)直線的方程為（），則直線的方程為．

由得，

，即，①

設(shè)的中點(diǎn)為，則， ，

點(diǎn)在直線上，∴，故，②

此時(shí)與①矛盾，故時(shí)不成立．

當(dāng)直線的斜率時(shí)， ， （， ），

的面積，

∵，

∴，

∴面積的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．