Question

如圖是某直三棱柱（側棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視圖的側視圖、俯視圖．在直觀圖中，M是BD的中點．側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數(shù)據(jù)如圖所示．
（1）求證：EM∥平面ABC；
（2）求出該幾何體的體積；
（3）求證：平面BDE⊥平面BCD．

Answer 1

分析：（1）證明EM∥平面ABC，只需證明EM平行于平面ABC的一條直線，取BC中點N，證明四邊形ANME為平行四邊形，即可證得結論；
（2）四棱錐B-ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，從而AB⊥平面ACDE，故可求四棱錐B-ACDE的體積；
（3）證明AN⊥平面BCD，利用AN∥EM，可知EM⊥平面BCD，從而可知平面BDE⊥平面BCD．

解答：證明：（1）取BC中點N，連接MN，ME，AN，則MN∥CD，AE∥CD 
又MN=AE=

1

2

CD，所以四邊形ANME為平行四邊形，則EM∥AN
由EM?平面ABC，AN?平面ABC，所以EM∥平面ABC；
（2）由題意可知：四棱錐B-ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC
所以，AB⊥平面ACDE，又AC=AB=AE=2，CD=4，
則四棱錐B-ACDE的體積為：V=

1

3

SACDE×AB=

1

3

×

(4+2)×2

2

×2=4
（3）∵AC=AB，N是BC的中點，∴AN⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD
∴AN⊥平面BCD
由（2）知：AN∥EM，∴EM⊥平面BCD
又EM?平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD．

點評：本題考查線面平行，考查面面垂直，考查四棱錐的體積計算，解題的關鍵是掌握線面平行、面面垂直的判定方法，屬于中檔題．