Question

已知函數(shù)．
（1）當a=1時，求上最大及最小值；
（2）當1＜x＜2時，求證（x+1）lnx＞2（x-1）；
（3）若函數(shù)在區(qū)間（1，2）上不單調(diào)______，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=1代入原函數(shù)，求出其導(dǎo)函數(shù)，找到其在所給區(qū)間上的單調(diào)性求出極值，再與端點值比較即可求上最大及最小值；
（2）構(gòu)造新函數(shù)F（x）=（x+1）ln-2（x-1），求出其導(dǎo)函數(shù)．利用（1）的結(jié)論求出新函數(shù)的極值（或最值）即可求證（x+1）lnx＞2（x-1）；
（3）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把在區(qū)間（1，2）上不單調(diào)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在在區(qū)間（1，2）上有根且無重根即可求a的取值范圍．
解答：解：（I）當a=1時，
令f'（x）=0得x=1.，f'（x）＞0，得1＜x≤2，
∴上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增
故f_min（x）=f（1）=0，最大值為中的較大者（3分）

易知e³＞16，∴
故f_max（x）=1-ln2（5分）

（II）令F（x）=（x+1）ln-2（x-1）∴．
由（I）知F'（x）在（1，2）上單調(diào)遞增．∴F'（x）＞F'（1）=0．（7分）
故F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴F（x）＞F（1）=0．
即（x+1）lnx＞2（x-1）（9分）

（III），

∵g（x）在（1，2）上不單調(diào)∴x²-ax+1=0在（1，2）上有根且無重根（10分）
即方程，在（1，2）上有根，且無重根．
∴．（12分）
點評：本題的第一問考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．