【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn . 已知a1=1, =an+1 n2﹣n﹣ ,n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足an﹣an1=bna ,求數(shù)列{bn}的n前項和Tn
(3)是否存在實數(shù)λ,使得不等式λa +a + ≥0恒成立,若存在,求出λ的取值范圍;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:∵ ,n∈N*

∴當(dāng)n≥2時,

由①﹣②,得

2Sn﹣2Sn1=nan+1﹣(n﹣1)an﹣n(n+1).

∵2an=2Sn﹣2Sn1

∴2an=nan+1﹣(n﹣1)an﹣n(n+1),

,

∴數(shù)列 是以首項為 ,公差為1的等差數(shù)列.

,

,當(dāng)n=1時,上式顯然成立.


(2)an﹣an1=bna bn= = =

∴Tn= + + +…+ .①

Tn= + + +…+ .②

由①﹣②,得

Tn= +2( + + +…+ )﹣

= +2

∴Tn= ,n∈N+


(3)λa +a + ≥0λ(2n )+2n+ ≥0,(n=2,4,6,8,10…)λ(2n )+(2n2+2≥0,

令t=2n ,則t≥ ,

原不等式λt+t2+2≤0≥﹣(t+ ).

∵t+ 在( ,+∞)上單調(diào)遞增,

∴t+ + =

∴λ≥﹣


【解析】(1)需要分類討論:n=1和n≥2兩種情況下的通項公式.當(dāng)n≥2時,根據(jù)已知條件可以推知2Sn﹣2Sn1=nan+1﹣(n﹣1)an﹣n(n+1).2an=nan+1﹣(n﹣1)an﹣n(n+1),由著兩個式子可以得到數(shù)列 是以首項為 ,公差為1的等差數(shù)列.由此寫出通項公式即可;(2)由an﹣an1=bna 可得bn= = = .再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出;(3)將已知不等式變形為λ(2n )+(2n2+2≥0,然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來求λ的取值范圍.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系

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)求拋物線C的方程,并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;

)求證:A為線段BM的中點.

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井號I

1

2

3

4

5

6

坐標(biāo)

鉆探深度

2

4

5

6

8

10

出油量

40

70

110

90

160

205

(1)在散點圖中號舊井位置大致分布在一條直線附近,借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸線方程為,求,并估計的預(yù)報值;

(2)現(xiàn)準(zhǔn)備勘探新井,若通過1、3、5、7號井計算出的的值(精確到0.01)相比于(1)中的值之差(即: )不超過10%,則使用位置最接近的已有舊井,否則在新位置打井,請判斷可否使用舊井?(參考公式和計算結(jié)果:

(3)設(shè)出油量與鉆探深度的比值不低于20的勘探井稱為優(yōu)質(zhì)井,在原有井號的井中任意勘探3口井,求恰好2口是優(yōu)質(zhì)井的概率.

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B.
C.﹣
D.

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