Question

【題目】已知 ，其中a＞0，a≠1．
（Ⅰ）若f（x）在（﹣∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a，b的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，且在（﹣∞，0）上遞增，

∴f（x）在[0，+∞）上是遞增函數(shù)∴a＞1，且f（0）=1+b≥﹣1，得b≥﹣2，

∴a＞1，b≥﹣2．

（Ⅱ）∵x＜0時(shí)，f（x）＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，0）上無零點(diǎn)，

∴x≥0時(shí)，f（x）=2x+b只有一個(gè)零點(diǎn)，

∵f（x）在[0，+∞）遞增，

∴f（0）=1+b≤0，即b≤﹣1．

∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是b∈（﹣∞，﹣1]

【解析】（Ⅰ）由題意可得出f（x在（﹣∞，0）上遞增，f（x）在[0，+∞）上是也遞增函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得到a＞1，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性得出f（0）≥﹣1，即得出b≥﹣2。（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，由∵x＜f（x）＜﹣1可得到f（x）在（﹣∞，0）上無零點(diǎn)，所以當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2x+b只有一個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)函數(shù)的增減性得出b≤﹣1．