Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x²-1．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）-

1

2

g（x）的最值；
（2）對(duì)于一切正數(shù)x，恒有f（x）≤k（x²-1）成立，求實(shí)數(shù)k的取值組成的集合．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)h（x）最大值；
（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=lnx-k（x²-1），對(duì)于一切正數(shù)x，恒有f（x）≤k（x²-1）成立，等價(jià)于F（x）≤0恒成立．求導(dǎo)函數(shù)，再進(jìn)行分類(lèi)討論，即可確定實(shí)數(shù)k的取值組成的集合．

解答：解：（1）h(x)=lnx-

1

2

(x2-1)，(x＞0)
求導(dǎo)函數(shù)可得h′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

，(x＞0)，所以函數(shù)h（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減．
所以h（x）的最大值為h（1）=0．…．（3分）
（2）令函數(shù)F（x）=lnx-k（x²-1）得F′(x)=

1

x

-2kx=

1-2kx2

x

當(dāng)k≤0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0恒成立，所以F（x）在（0，+∞）遞增，
故x＞1時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（0）=0不滿(mǎn)足題意．…．（5分）
當(dāng)k＞0時(shí)，當(dāng)x∈(0，

1 2k

)時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0恒成立，函數(shù)F（x）遞增；
當(dāng)x∈(

1 2k

，+∞)時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0恒成立，函數(shù)F（x）遞減．
所以F(x)≤F(

1 2k

)=ln(

1 2k )

-

1

2

+k；即 F（x）的最大值F(

1 2k

)≤0…．（8分）
令t=

1 2k

，則k=

1

2t2

，(t＞0)．
令函數(shù)H(t)=lnt+

1

2t2

-

1

2

，H/(t)=

1

t

-

1

t3

=

t2-1

t3

所以當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，函數(shù)H（t）遞減；當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)H（x）遞增；
所以函數(shù)H（t）≥H（1）=0，
從而F(

1 2k

)=H(t)≥0，∴F(

1 2k

)=H(t)=0…（11分）
就必須當(dāng)t=

1 2k

=1，即k=

1

2

時(shí)成立．
綜上k∈{

1

2

}．…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查構(gòu)造函數(shù)法解決不等式恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的最值．