Question

5．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線過點(diǎn)（2，$\sqrt{3}$），則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意得點(diǎn)（2，$\sqrt{3}$）在直線y=$\frac{a}$x上，可得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用雙曲線基本量的平方關(guān)系算出c=$\frac{\sqrt{7}}{2}$a，再根據(jù)離心率的公式加以計(jì)算，即可得出該雙曲線的離心率．

解答 解：∵雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∴漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
因此，點(diǎn)（2，$\sqrt{3}$）在直線y=$\frac{a}$x上，可得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，即b²=c²-a²=$\frac{3}{4}$a²，可得c=$\frac{\sqrt{7}}{2}$a，
由此可得雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題給出雙曲線的漸近線上點(diǎn)的坐標(biāo)，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．