過橢圓右焦點F且傾斜角為45°的直線交橢圓于A、B兩點，若|FB|=2|FA|，則橢圓的離心率為________．


分析：設(shè)橢圓的右準線為l，設(shè)A、B兩點在l上的射影分別為C、D，連接AC、BD，過點B作BG⊥AC利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，再結(jié)合直角△ABG中，∠BAG=45°，可求出邊之間的長度之比，可得離心率的值．
解答：解：如圖，設(shè)橢圓的右準線為l，過A點作AC⊥l于C，過點B作BD⊥l于D，再過B點作BG⊥AC于G，
在直角△ABG中，∠BAG=45°，所以AB=AG，…①
由圓錐曲線統(tǒng)一定義得：e==，
∵|FB|=2|AF|，∴|BD|=2|AC|，
在直角梯形ABDC中，AG=BD-AC=AC，…②
由①、②可得AB=AC，
又∵AF=AB=AC，
∴e==，
故答案為：．
點評：本題考察了圓錐曲線的統(tǒng)一定義的應(yīng)用，結(jié)合解含有45°的直角三角形，求橢圓的離心率，屬于幾何方法，運算量小，方便快捷．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，過右焦點F且傾斜角為
π
3
的直線與C相交于A、B兩點，且3
AF
=5
FB
．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△ABF1的面積小于等于
8
3
5
（F1為左焦點），求弦AB長度的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過橢圓右焦點F且傾斜角為45°的直線交橢圓于A、B兩點，若|FB|=2|FA|，則橢圓的離心率為
2
3
2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)與橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的焦點相同，若過右焦點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有兩個不同交點，則此雙曲線實半軸長的取值范圍是（　�。�
A、（2，4）
B、（2，4]
C、[2，4）
D、（2，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008-2009學(xué)年湖北省武漢二中、仙桃中學(xué)聯(lián)考高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

過橢圓右焦點F且傾斜角為45°的直線交橢圓于A、B兩點，若|FB|=2|FA|，則橢圓的離心率為    ．

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