Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是與的等差中項(xiàng)（）.

   (1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)是否存在正整數(shù)，使不等式恒成立，若存在，求出

的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

  

Answer 1

（1）解法一：因?yàn)?sub>是與的等差中項(xiàng)，

        所以（），即，（）

        當(dāng)時(shí)有                               

       得，即對(duì)都成立     

       又即，所以

       所以.                                 

解法二：   因?yàn)?sub>是與的等差中項(xiàng)，

       所以（），即，（）

       由此得（），

       又，所以 （），                                                        

       所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.  …

       得，即（），

       所以，當(dāng)時(shí)，，     

又時(shí)，也適合上式， 所以.          

  （2）原問(wèn)題等價(jià)于（）恒成立.  

        當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)不等式恒成立；                

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，等價(jià)于恒成立，

        令，，則等價(jià)于恒成立，       ′

     因?yàn)?sub>為正整數(shù)，故只須，解得，，

        所以存在符合要求的正整數(shù)，且其最大值為11.