Question

（2011•藍山縣模擬）設(shè)函數(shù)f(x)=cosx-cos(x-

π

3

)，x∈R．
（1）求f（x）的最大值，并求取得最大值時x的取值集合；
（2）記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，若f（B）=0，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）把f（x）的解析式的第二項利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，整理后再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，由x為任意實數(shù)，可得余弦函數(shù)的值域為[-1，1]，進而確定出f（x）的最大值，并根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到此時x的取值集合；
（2）把x=B，f（B）=0代入第一問化簡得到的解析式中，根據(jù)B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，再由b與c，以及cosB的值，利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（1）f(x)=cosx-(cosxcos

π

3

+sinxsin

π

3

)
=

1

2

cosx-

3

2

sinx=cos(x+

π

3

)，…（3分）
∵x∈R，∴-1≤cos（x+

π

3

）≤1，
則f（x）_max=1，…（4分）
此時x的取值集合為{x|x+

π

3

=2kπ，k∈Z}，即{x|x=2kπ-

π

3

，k∈Z}；…（6分）
（2）∵f（B）=cos(B+

π

3

)=0，且B為三角形的內(nèi)角，
∴B=

π

6

，…（8分）
又b=1，c=

3

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：
12=a2+(

3

)2-2

3

acos

π

6

，…（10分）
即a²-3a+2=0，
解得：a=1或a=2．…（12分）．

點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．