Question

如圖是一個(gè)數(shù)表，第一行依次寫著從小到大的正整數(shù)，然后把每行的相鄰兩個(gè)數(shù)的和寫在這兩數(shù)的正中間的下方得到下一行，數(shù)表從左到右、從上到下無限．則2000在表中出現(xiàn)

4

次．

Answer 1

分析：由數(shù)表推得，每一行都是等差數(shù)列，第n行的公差為2^n-1，記第n行的第m個(gè)數(shù)為f（n，m），則f（n，1）=f（n-1，1）+f（n-1，2）依此類推算得f（n，1）=（n+1）•2^n-2從而得到f（n，m）=f（n，1）+（m-1）•2^n-1最后令2^n-2（2m+n-1）=2000=2⁴×5³，驗(yàn)證當(dāng)n=1，3，5，6時(shí)符合，最后得出答案．

解答：解：由數(shù)表推得，每一行都是等差數(shù)列，第n行的公差為2^n-1，
記第n行的第m個(gè)數(shù)為f（n，m），則f（n，1）=f（n-1，1）+f（n-1，2）
=2f(n-1，1)+2n-2⇒

f(n，1)

2n

=

f(n-1，1)

2n-1

+

1

4

算得f（n，1）=（n+1）•2^n-2
⇒f（n，m）=f（n，1）+（m-1）•2^n-1
=2^n-2（2m+n-1）（n∈N₊）
令2^n-2（2m+n-1）=2000=2⁴×5³，
驗(yàn)證當(dāng)n=1，3，5，6時(shí)符合．
則2000在表中出現(xiàn) 4次．
故答案為4．

點(diǎn)評：本小題主要考查歸納推理、等差數(shù)列、數(shù)列的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．