Question

若方程

3

sinx+cosx=a在[0.2π]上有兩個不同的實數(shù)解，則a的取值范圍是（　�。�

A．a(chǎn)∈（-2，0）∪（1，2）

B．a(chǎn)∈（-2，2）

C．a(chǎn)∈（-2，1）∪（1，2）

D．a(chǎn)∈（-2，1）

Answer 1

分析：已知方程

3

sinx+cosx=a在[0.2π]上有兩個不同的實數(shù)解，可以將方程轉(zhuǎn)化為：sin（x+

π

6

）=

a

2

，可以令f（x）=sin（x+

π

6

），h（x）=

a

2

，畫出這兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解；

解答：解：∵方程

3

sinx+cosx=a，
∴2sinx（x+

π

6

）=a，即sinx（x+

π

6

）=

a

2

，
可以令f（x）=sinx（x+

π

6

），h（x）=

a

2

，
∵方程

3

sinx+cosx=a在[0.2π]上有兩個不同的實數(shù)解，
∴函數(shù)f（x）和h（x）的圖象有兩個交點，
如下圖：

∴

π

6

≤x+

π

6

≤2π+

π

6

∴h（x）=

a

2

，要使f（x）與h（x）有兩個交點，
∴h（x）在直線m與n和直線n與l之間，有兩個交點，
∴

1

2

＜

a

2

＜1或-1＜

a

2

＜

1

2

，
∴1＜a＜2或-2＜a＜1；
故選C；

點評：本題主要考查函數(shù)的零點及函數(shù)的零點存在性定理，函數(shù)的零點的研究就可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程根的問題，數(shù)形結(jié)合的思想得到了很好的體現(xiàn)．