Question

梯形ABCE中，AB∥CE，D是CE中點(diǎn)，BC∥AD，AB=BC=2，∠BAD=60°，沿AD把梯形折成如圖所示四棱錐E-ABCD，
（1）求證：AD⊥BE
（2）若面EAD⊥面ABCD，求二面角A-EB-C的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先根據(jù)題中的已知條件求出相關(guān)的線段長(zhǎng)，然后根據(jù)所求的結(jié)果來(lái)進(jìn)一步判斷線面垂直，最后轉(zhuǎn)化為線線垂直．
（2）首先根據(jù)所做的輔助線作出二面角的平面角，然后根據(jù)所解得：GK=

3

2

，AH=

10

2

，MC=

7

，AK=

6

2

  AG=

3

2

最后利用余弦定理求得結(jié)果．

解答： （1）證明：梯形ABCE中，AB∥CE，D是CE中點(diǎn)，BC∥AD，AB=BC=2，∠BAD=60°連結(jié)BE交AD于M點(diǎn)，
在△ABE中利用余弦定理：BE²=AE²+AB²-2AE•ABcos∠EAB 
解得：BE=2

3

 且△ABE為等邊三角形，EM=EB=

3

AD⊥EM，
根據(jù)梯形的邊角關(guān)系求得：AD⊥BM
∴AD⊥面EMB
∴AD⊥面EMB
∴AD⊥BE
（2）解：如圖所示：BM⊥BC，EM⊥BC
∴BC⊥面BEM
∴BC⊥BE
作BE的中點(diǎn)H，連結(jié)AH，
∴AH⊥BE  在平面EBC中作HG∥BC得到HG⊥BE，連結(jié)AG
∴∠AHG就是二面角A-EB-C的平面角．
作MC的中點(diǎn)K，連結(jié)GK，GK為△EMC的中位線
進(jìn)一步解得GK=

3

2

，AH=

10

2

 MC=

7

，AK=

6

2

  AG=

3

2

在△AHG中，利用余弦定理cos∠AHG=

AH2+HG2-AG2

2AH•HG

=

10

8

∴sin∠AHG=

3 6

8

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：勾股定理及余弦定理，線面垂直的判定及性質(zhì)定理，二面角的平面角的畫(huà)法及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題．