已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
(x≠0，a∈R)
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性
（2）若a=1，證明：f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)．
（3）若f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
（1）函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點對稱
對于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f(-x)=-x+
a
-x
=-(x+
a
x
)=-f(x)
故f（x）為奇函數(shù)（5分）
（2）a=1，則f(x)=x+
1
x

任取2≤x1＜x2，f(x1)-f(x2)=(x1+
1
x1
)-(x2+
1
x2
)=
(x1-x2)
x1x2
(x1x2-1)（8分）
∵2≤x1＜x2∴x1x2＞4，x1-x2＜0，（x1x2-1）＞0∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在[2，+∞）是增函數(shù)（10分）
（3）任取2≤x1＜x2，f(x1)-f(x2)=(x1+
a
x1
)-(x2+
a
x2
)=
(x1-x2)
x1x2
(x1x2-a)（12分）
要是函數(shù)f（x）在x∈[2，+∞）是增函數(shù)，必須使f（x1）-f（x2）＜0恒成立∵x1-x2＜0，x1x2＞4，
即a＜x1x2恒成立（14分）
又∵x1+x2＞4，x1x2＞4∴a的取值范圍是（-∞，4]（16分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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