Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，?y∈D，使

f(x)+f(y)

2

=C（C為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)f（x）在D上的均值為C，已知四個函數(shù)：
①y=x³（x∈R）；
②y=（

1

2

）^x（x∈R）；
③y=lnx（x∈（0，+∞））；
④y=2sinx+1（x∈R），
上述四個函數(shù)中，滿足所在定義域上“均值”為1的函數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對于函數(shù)①y=x³，可直接取任意的x₁∈R，驗(yàn)證求出唯一的x₂=

3	2-x13

，即可得到成立．
對于函數(shù) ②y=（

1

2

）^x（x∈R），特殊值法代入驗(yàn)證不成立成立，即可得到答案
對于函數(shù)③y=lnx，對于任意的x₁＞0，必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=1成立，故滿足條件．
對于函數(shù)②y=2sinx+1，因?yàn)閥=2sinx+1是R上的周期函數(shù)，明顯不成立．

解答： 解：對于函數(shù)①y=x³，取任意的x₁∈R，

f(x1)+f(x2)

2

=1=

x13+x23

2

，
x₂=

3	2-x13

，可以得到唯一的x₂∈D，故滿足條件．
對于函數(shù) ②y=（

1

2

）^x（x∈R），定義域?yàn)镽，值域?yàn)閥＞0．對于x₁=-3，f（x₁）=8．
要使

f(x1)+f(x2)

2

=1，f（x₂）=-6，不成立，故不滿足條件．
對于函數(shù)③y=lnx，定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)镽且單調(diào)，對于任意的x₁＞0，必存在唯一的x₂∈D，
使

f(x1)+f(x2)

2

=1成立，故滿足條件．
對于函數(shù)④y=2sinx+1，明顯不成立，因?yàn)閥=2sinx+1是R上的周期函數(shù)，存在無窮個的x₂∈D，
使

f(x1)+f(x2)

2

=1，故不滿足條件．
故答案為：①③．

點(diǎn)評：此題主要應(yīng)用新定義的方式考查平均值不等式在函數(shù)中的應(yīng)用．對于新定義的問題，需要認(rèn)真分析定義內(nèi)容，切記不可偏離題目，屬于基礎(chǔ)題．