Question

已知橢圓

x2

4

+y2=1的左、右頂點分別為A、B，曲線E是以橢圓中心為頂點，B為焦點的拋物線．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）直線l：y=

k

(x-1)與曲線E交于不同的兩點M、N，當

AM

•

AN

≥17時，求直線l的傾斜角θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意可求A，B進而可求拋物線E的方程
（Ⅱ）由

y= k (x-1) y2=8x

得：kx²-（2k+8）x+k=0，由

△=(2k+8)2-4k2＞0 k＞0

可求k的范圍，再由

AM

•

AN

=(x1+2，y1)(x2+2，y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2可求k的范圍，進而可求θ的范圍

解答：解：（Ⅰ）依題意得：A（-2，0），B（2，0），
∴曲線E的方程為y²=8x．…（4分）
（Ⅱ）由

y= k (x-1) y2=8x

得：kx²-（2k+8）x+k=0，
由

△=(2k+8)2-4k2＞0 k＞0

?k＞0…（7分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則：x1+x2=

2k+8

k

，x1x2=1，
∴

AM

•

AN

=(x1+2，y1)(x2+2，y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2…（9分）
=(k+1)x1x2+(2-k)(x1+x2)+4+k=

16

k

+1≥17
∴0＜k≤1，∴θ∈(0，

π

4

]．…（12分）

點評：本題主要考查了利用拋物線的性質求解拋物線的方程，直線與拋物線方程的相交的處理中，要注意方程的根與系數的關系的應用．