Question

已知數(shù)列a₁=1，a₂=2，．
（1）求a₃，a₄的值；
（2）證明：任意相鄰三項(xiàng)不可能有兩個(gè)偶數(shù)；
（3）若，求n的值．

Answer 1

（1）解：∵a₁=1，a₂=2，
∴a₃=5a₂﹣3a₁=7，a₄=5a₃﹣3a₂=29
（2）證明：假設(shè)a_n，a _n+1，a _n+2中存在兩項(xiàng)為偶數(shù)，若有相鄰兩項(xiàng)為偶數(shù)，
不妨設(shè)a_n，a _n+1為偶數(shù)，
由已知3a _n﹣1=5a_n﹣a _n+1或a _n﹣1=a_n﹣a _n+1，
得a _n﹣1必為偶數(shù)，以此類推，可得a₁為偶數(shù)，與已知條件矛盾，
若有不相鄰兩項(xiàng)為偶數(shù)，不妨設(shè)a_n，a _n+2為偶數(shù)，
由已知5a _n+1=3a_n+a _n+2或a _n+1=a_n+a _n+2得a _n+1必為偶數(shù)，
以此類推，可得a₁為偶數(shù)，與已知條件矛盾，
故任意相鄰三項(xiàng)不可能有兩個(gè)偶數(shù)
（3）解：由n=1，2顯然滿足題意，
下證：n≥3時(shí)，無(wú)滿足題意的n，
設(shè)使得an是4的倍數(shù)的最小下標(biāo)為m，則
由（1）知m＞4，
由于a_m是偶數(shù)，由（2）知a _m﹣1，a _m﹣2為奇數(shù)，
再由已知條件知a _m﹣3為偶數(shù)
又a m_﹣1=5a _m﹣2+a _m﹣3或a_m=a _m﹣1+a _n﹣2
得3a _m﹣3=4a _m﹣2﹣a_m，
從而a _m﹣3也為4的倍數(shù)，與假設(shè)矛盾，
綜上所述，當(dāng)n≥3時(shí)，無(wú)滿足題意的n使得 ，
故n=1，2